10.排列、组合、概率与-统计——数学基础知识与-典型例题预习复习.doc
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1、|数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)排列与组合1分类计数原理: 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 种不同的方法,在第 2 类办1m法中有 种不同的方法,在第 n 类办法中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 2mnn1+n2+n3+nM种不同的方法2.分步计数原理:完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种1 2不同的方法,做第 n 步有 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=n1n2n3nM 种不同的方法注:分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数公式,也可用来直接解题。它们的共同点
2、都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时,每一种方法都独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理,重在分“类” ,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先分类再分步。3.排列的定义:从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.排列数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数, 用符号 表
3、示. 其中mAn,m ,并且 mnN排列数公式: !(1)(,)ANL当 m=n 时,排列称为全排列,排列数为 = 记为 n!, 且规定nA1)2LO!=1.注: ; !()!n1mn4.组合的定义: 从 n 个不同的元素中任取 m(mn) 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.组合数的定义: 从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有组合数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 表示.nC组合数公式: .(1)!()mnAL规定 ,其中 m,nN +,mn.01nC注: 排列是“排成一排 ”,组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.排列
4、与组合组合数的两个性质: 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个;mn不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的 . 根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个11n元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素,所以有 C ,如果不取这一元素,则需从剩余 n 个元1mn素中取出 m 个元素,所以共有 C 种,依分类原理有 . n mnnC115解排列、组合题的基本策略与方法()排列、组合问题几大解题方法:直接法; 排除法;捆绑法:在特定要求的条件
5、下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部” 的排列.它主要用于解决“ 元素相邻问题 ”;插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般” 的解题原则.调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 种, 个元素的全排列有 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能nA()mmA取其中的某一种排法,可以利用除
6、法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有 种排列方法. mn()排列组合常见解题策略:特殊元素优先安排策略; 合理分类与准确分步策略;排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;正难则反,等价转化策略; 相邻问题插空处理策略;不相邻问题插空处理策略; 定序问题除法处理策略;分排问题直排处理的策略; “小集团”排列问题中先整体后局部的策略;构造模型的策略.6.二项式定理:对于 , ,这个公nN01 0()nnrnrnabCabCababLL式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做 的展开式.()注:展开式具有以下特点
7、:项数:共有 项;1系数:依次为组合数 ;,210nrnL且每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幂排列,b 的升幂排列展开.二项展开式的通项: 的展开式第 r+1 为 .()ab1(0,)rnTCrZ 二项式系数的性质.二项展开式中的 叫做二项式系数0,12,)rnC|在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;即 01,.nnrnrCCL排列与组合二项展开式的中间项二项式系数最大且当 时,二项系数是逐渐增大,当 时,二项式系数是逐渐减小的2k()当 n 是偶数时,中间项是第 项,它的二项式系数 最大;12nnC()当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 项和第
8、项,它们的二项式系数 最大.12n系数和:所有二项式系数的和: ;奇数项二项式系数的和偶012nnCL数项而是系数的和: .02431n 11mmmnCL如何来求 展开式中含 的系数呢?其中 且()nabcpqrabc,pqrN把 视为二项式,先找出含有 的项pqr()n c,另一方面在 中含有 的项为 ,故)nrn rqnrqpnrCaba在 中含 的项为 .其系数为(pqrprnC.!()!()rq qrn npC 二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。排列与组合例 1. 3 个班分别从 5 个景点中选择 1 处游览,不同的选
9、法种数是( )(A)5 (B)3 (C)A (D)C3535例 2. 5 本不同的课外读物分给 5 位同学,每人一本,则不同的分配方法有( )(A)20 种 (B)60 种 (C)120 种 (D)100 种例 3. 6 个人排成一排,甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为( ).(A) (B) (C) (D)3A3A34A例 4. 如果集合 A=x 21,则组成集合 A 的元素个数有( ).7(A)1 个 (B)3 个 (C)6 个 (D)7 个例 5.如果 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 的系数是( )2nx 31x(A)7 (B) (C)21 (D)72例 6. 设(1+x)
10、+(1+x) +(1+x) = a +a x+a x +a x 则 a = ( ) 341012103(A) C (B) C (C) 2C (D) C11304例 7. 在 的展开式中, 的系数是( )035(A)-297 (B)-252 (C)297 (D)207例 8. 对于小于 55 的自然数,积(55-n)(56-n)(68-n)(69-n) 等于 ( )(A)A (B)A (C)A (D)An5691569151469n例 9. 若(1-2x) 9=a0+a1x+a2x2+a8x8+a9x9,则 a1+a2+a8 的值为_.排列与组合例 10. 一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆
11、部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为 n(n3,nN) 等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1,a 2,a 3,有多少不同的种植方法?如图 2,圆环分成的 4 等份为 a1,a 2,a 3,a 4,有多少不同的种植方法?如图 3,圆环分成的 n 等份为 a1,a 2,a 3,a n,有多少不同的种植方法?概率1.随机事件及其概率:必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.不可能事件: 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.随机事件: 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.随机事件的概率
12、:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总是接近于某个常mn数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 的概率,记作 .()P概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是 ,必然事件的概01率是 1,不可能事件的概率是 0.2.等可能事件的概率:基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.等可能事件的概率:如果一次试验由 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么n每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 包含的结果有 个,那么事件 的概率为1AmA.()mPAn3.互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互
13、斥,那么事件 A+B 发生( 即 A、B 中有一个发生 )的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: .1212()()n nPPPLL对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 对立事件的概率和等于 1: . 1(互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.|从集合的角度看,由事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集 I 中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集. 概率4. 相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.注: 独立事件是对任意多个事件来讲
14、,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(AB)=P(A)P(B). 证明:设甲试验共有 N1 种等可能的不同结果,其中属于 A 发生的结果有 m1 种,乙试验共有 N2 种等可能的不同结果,其中属于 B 发生的结果有 m2 种,由于事件 A 与 B 相互独立,N 1,m 1 与 N2,m 2 之间是相互没有影响的,那么,甲、乙两试验的结果搭配在一起,总共有 N1N2 种不同的搭配,显然这些搭配都是具有等可能性的.另外,考察属于事件 AB 的试验
15、结果,显然,凡属于 A 的任何一种试验的结果同属于 B 的任何一种乙试验的结果的搭配,都表示 A 与 B 同时发生,即属于事件 AB,这种结果总共有 m1m2 种.因此得:P(AB) , P(AB)P(A)P(B)N12注:当两个事件同时发生的概率 P(AB )等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广:如果事件 相互独立,那么12,nL1212()()(nnAPALL独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k
16、 次的概率: .(注:此式为二项式(1 -P)+Pn展开式的第 k+1 项.)()(1)knknC注: 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 与 B, 与 也都相互独立.,对任何两个事件都有 ()P概率例 11. 10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,至少有 1 人中奖的概率是( )(A) (B) (C) (D)3101222例 12. 2006 年 6 月 7 日,甲地下雨的概率是 0.15,乙地下雨的概率是 0.12.假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响,那么甲、乙都不下雨的概率是( )(A) 0.102 (B) 0.132 (C) 0.748 (D) 0.982
17、例 13. 从 1,2,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是( )(A) (B) (C) (D)5421210例 14. 袋中有红球、黄球、白球各 1 个,每次任取一个,有放回地抽取 3 次,则下列事件中概率是 的是( )89(A)颜色全相同 (B)颜色不全相同 (C)颜色全不同 (D)颜色无红色例 15. 袋中装有白球和黑球各 3 个,从中任取 2 球,在下列事件中:(1)恰有 1 个白球和恰有 2 个白球;(2)至少有 1 个白球和全是白球;(3)至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球;(4)至少有 1 个白球和全是黑球。是对立事件的为( )(A) (
18、1) (B) (2) (C) (3) (D) (4)例 16. 甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概率是 p2,那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是了( )(A) (B) (C) (D)21p2121例 17. 某班有 50 名学生,其中 15 人选修 A 课程,另外 35 人选修 B 课程从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 (结果用分数表示)概率例 18. 某商场开展促销抽奖活动,摇出的中奖号码是 8,2,5,3,7,1,参加抽奖的每位顾客从 09 这 10 个号码中任意抽出六个组成一组,若顾客抽出的六个号码中至少有 5 个与摇出
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